Metoda Elementów Skończonych, znana również pod akronimem „MES”, jest jedną z metod wykorzystywanych w inżynierii oraz naukach przyrodniczych. Znajduje zastosowanie zwłaszcza w mechanice konstrukcji oraz analizie zachowania ośrodków ciągłych. Jest powszechnie używana w wielu gałęziach przemysłu, w tym na etapie projektowania naszych maszyn i urządzeń.
Analiza wytrzymałościowa korpusu ramowego prasy hydraulicznej produkcji Hydrapress fot. ML
Korzenie Metody Elementów Skończonych sięgają XIX wieku, kiedy zaczęto wykorzystywać matematykę do obliczeń wytrzymałości mostów oraz kotłów parowych. W okresie tym nie istniały jeszcze maszyny liczące, lecz w miarę postępu technologicznego, szczególnie w branży komputerów, metoda MES rozwijała się coraz dynamiczniej. Pierwsza publikacja w pełni poświęcona tematyce MES ukazała się w 1943 roku, a jej autorem był wybitny matematyk Richard Courant. W początkowych próbach zastosowania MES skupiano się na prostych przypadkach jednowymiarowych, opierając się na przykładach ciał o stałych właściwościach materiałowych, które można było opisać za pomocą równań liniowych.
W latach 60. wprowadzono termin „Element Skończony” i doprecyzowano technologię. MES zaczęto wykorzystywać również w celach niekonstrukcyjnych. W latach 80. i 90. możliwe stało się modelowanie bardziej zaawansowanych przypadków w wymiarach 1D i 2D. Dalszy wzrost mocy obliczeniowej komputerów pozwolił na wejście w erę trójwymiarowości co pozwoliło na stosowanie metody MES do dowolnych geometrii. Obecnie dostępnych jest wiele książek i publikacji poświęconych metodzie MES, w których przedstawiono liczne praktyczne rozwiązania. W dzisiejszych czasach nawet początkujący inżynier może wspomagać się Metodą Elementów Skończonych w prostszych zagadnieniach, a dla doświadczonych konstruktorów oraz całych zespołów projektowych narzędzia MES dają w zasadzie nieograniczone możliwości analizy wytrzymałościowej projektowanych konstrukcji i urządzeń.
Czym jest element skończony?
Element skończony jest prostą figurą geometryczną która została podzielona na kilka wyróżnionych punktów nazywanych węzłami oraz funkcje interpolacyjne, które mają za zadanie opisywać rozkład analizowanych danych (tzw. funkcje kształtu bądź funkcje węzłowe). Funkcje te mogą się znajdować na wierzchołkach, bokach i wewnątrz figury. Cały obszar opisany jest za pomocą równań matematycznych, dzięki którym możliwe jest określenie jego zachowanie w odpowiedzi na zadane obciążenia lub warunki brzegowe. W zależności od rodzaju analizy równania mogą być liniowe lub nieliniowe.
Po rozbiciu obszaru na elementy skończone, narzędzie MES uruchamia dyskretyzację równań różniczkowych, które opisują zachowanie materiału lub struktury. Równania te są przekształcane w układ równań algebraicznych. Układ jest następnie rozwiązywany numerycznie, aby uzyskać przybliżone rozwiązanie problemu.
Zasadniczo etapy rozwiązywania przy użyciu metody MES można podzielić na trzy kroki:
- Zagadnienie różniczkowe zostaje przekształcone do postaci wariacyjnej lub całkowitościowej.
- Obszar jest podzielony na elementy skończone.
- Procesy zachodzące w każdym elemencie są przybliżane za pomocą prostych funkcji bazowych.
Algorytm MES działa poprzez zastosowanie następujących kroków. Najpierw z obszaru tworzona jest siatka, której punkty reprezentowane są przez węzły. W węzłach zostają przypisane wartości wielkości fizycznych tworząc zestaw niewiadomych. Następnie algorytm określa funkcje definiujące wartości tych wielkości wewnątrz elementów, a za pomocą funkcji wagowych równania różniczkowe są przekształcane do postaci algebraicznej. W wyniku tego procesu równania są ze sobą łączone (asemblacja). W etapie tym rozwiązania poszczególnych równań elementarnych umieszczane są w odpowiednich pozycjach globalnego układu równań co wymaga uwzględnienia warunków brzegowych, właściwości materiałowych, geometrii i innych istotnych informacji dotyczących problemu.
Po zakończeniu asemblacji uzyskiwany jest kompletny układ równań opisujący zachowanie całego analizowanego obszaru lub struktury. Liczba równań w tym układzie może sięgać milionów, w zależności od złożoności modelu i liczby elementów skończonych.
Rozwiązanie uzyskane w opisany sposób ma charakter przybliżony. Niemożliwe jest dokładne oszacowanie błędu wynikającego z tego przybliżenia, bowiem brakuje rzeczywistego rozwiązania w celach porównawczych. Niemniej, wykorzystując informacje zawarte w postaci problemu, strukturze elementów skończonych i własnościach przestrzeni aproksymacji, możliwe jest ograniczenie błędu od góry, co pozwala na oszacowanie jakości metody. Sposobem na zwiększenie precyzji obliczeń jest zwiększenie liczby elementów skończonych. Błąd ten zostanie zminimalizowany kosztem zajęcia większych zasobów mocy obliczeniowej komputera.
Praktyczne wykorzystanie MES
Aby przeprowadzić opisaną symulację, konieczne jest wykonanie kilku kroków. Po wybraniu odpowiedniego modelu matematycznego opisujący zjawisko jest on przekształcany w postać numeryczną. W kroku kolejnym następuje wybór algorytmów, które posłużą do rozwiązania układów równań. Po przygotowaniu modelu numerycznego i wyborze odpowiednich algorytmów, następuje dobór struktur danych, określenie sposobu realizacji oraz analiza architektury systemu komputerowego. W ten sposób problem zostaje sformułowany i do niego tworzona jest siatka obliczeniowa. Po stworzeniu układu równań przystępuje się do nich rozwiązania, a wyniki prezentowane są graficznie.
Obecnie aplikacje komputerowego wspomagania projektowania oparte na metodzie elementów skończonych składają się z trzech wzajemnie współpracujących elementów. Pierwszy z nich to preprocesor służący do importowania i przygotowania geometrii oraz doboru elementów skończonych. Procesor wykonuje rozwiązanie układów równań, a po zakończeniu analizy wyników, postprocesor pozwala na ich prezentację i interpretację. Te funkcjonalności są zawarte w różnorakim oprogramowaniu przeznaczonym do inżynierii wspomaganej komputerowo (CAE), takich jak Solid Edge, Simcenter 3D czy Fusion 360.
Metoda Elementów Skończonych (MES) znajduje zastosowanie w różnych dziedzinach nauki i inżynierii jako narzędzie do przybliżania równań różniczkowych. Możemy ją odnaleźć w obszarach takich jak mechanika ciała odkształconego, mechanika płynów, elektromagnetyzm, fizyka atomowa czy medycyna.
W firmie Hydrapress realizujemy obliczenia z użyciem metody Elementów Skończonych przy użyciu oprogramowania Solid Edge i Femap. Narzędzia te dają możliwość analizy obciążeń, parametrów materiałowych, sił rozciągających, rozkładu naprężeń oraz współczynników bezpieczeństwa.
Warto zaznaczyć, że choć raporty oparte na Metodzie Elementów Skończonych są niezwykle użyteczne i cenne, nie powinny stanowić jedynego kryterium oceny przydatności projektu do konkretnych warunków. Podejście jakościowe do projektowania powinno zapewnić, że wszelkie wyniki uzyskane z metody MES są analizowane w kontekście wiedzy i doświadczenia projektantów oraz analityków oraz przy uwzględnieniu danych pochodzących z badań eksperymentalnych.
Teskt: ML
